设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），已知不论α，β为何实数恒有f（sinα）≥0和f（2+cosβ）

解题思路：（1）取α=[π/2]，β=π，可求得f（1）=a+b+c≥0，f（1）=a+b+c≤0，从而f（1）=0；
（2）取β=0，有f（3）=9a+3b+c≤0，而f（1）=a+b+c=0，可得b=-（a+c），代入9a-3（a+c）+c≤0可得c≥3a；
（3）设sinx=t，f（sinx）=f（t）=a(t−

a+c

2a

)2+c-

(a+c)

4a

2，由a＞0，c≥3a，可求得[a+c/2a]≥2，从而可得二次函数f（t）在t∈[-1，1]上递减，而f（x）_最大=8，问题解决．

（本小题满分16分）
（1）取α＝
π
2，得f（sinα）=f（1）=a+b+c≥0
取β=π，得f（2+cosβ）=f（1）=a+b+c≤0
∴f（1）=0
（2）证：取β=0，得f（2+cosβ）=f（3）=9a+3b+c≤0
由（1）得f（1）=a+b+c=0，∴b=-（a+c）代入得9a-3（a+c）+c≤0
∴c≥3a
（3）设sinx=t，则-1≤t≤1又b=-（a+c），
∴f（sinx）=f（t）=at²-（a+c）t+c=a(t−
a+c
2a)2+c-
(a+c)
4a2，
∵a＞0，c≥3a，
∴[a+c/2a]≥[a+3a/2a]=2，
∴二次函数f（t）在t∈[-1，1]上递减
∴t=-1时，f（x）_最大=a+（a+c）+c=8
∴a+c=4，b=-（a+c）=-4．

点评：
本题考点： 二次函数在闭区间上的最值；函数恒成立问题；二次函数的性质．

考点点评： 本题考查二次函数在闭区间上的最值，着重考查恒成立问题与二次函数的性质的应用，换元后分析出其对称轴t=[a+c/2a]≥2是关键，属于难题．

1、f(x)=x^2+bx+c
由f(sinα)≥0可知 在区间（-1，1）上 f(x)≥0；
由f(2+cosβ)≤0可知 在区间（1，3）上 f(x)≤0；
所以f(1)=1+b+c=0
所以b+c=-1.①
2、由在区间（1，3）上 f(x)≤0得f(3)=9+3b+c≤0 ②
由①②解得c≥3
3、由二次函数f(x)=x...