若函数f(x)在[0,1]上有定义 f(0)=f(1) 且对任意不同的x1 x2∈[0,1] 都有|f(x2)-f(x1

本题可以用论述和作图相结合证明.
证明：
由题意知,f(0)=f(1) 且对任意不同的x1 x2∈[0,1],即f(x)在x1 x2∈[0,1]区间是非单调递增或递减函数.设x1和x2的中点为xo,
1、若f(x2)>f(x1),
（1）当x2>x1时,则可表示为(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)<1,f(x)函数此时的斜率小于1,即x1,x2的连线与x轴的夹角小于45°,设x1和x2的中点为xo,对于x1和x2构成连线的上半轴,经过x1斜率为1的直线与经过x3斜率为-1的直线交点记为x3,由图易知,此时f(x2)-f(x1))/(x2-x1)（2）当x22、若f(x2)综合,即得：
若函数f(x)在[0,1]上有定义 f(0)=f(1) 且对任意不同的x1 x2∈[0,1] 都有|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1| 求证|f(x2)-f(x1)|<0.5.
证毕

附图：