已知函数 为常数，e=2．71828…是自然对数的底数)，曲线 在点 处的切线与x轴平行．

已知函数 为常数，e=2．71828…是自然对数的底数)，曲线 在点 处的切线与x轴平行．
(1)求k的值，并求 的单调区间；
(2)设 ，其中 为 的导函数．证明：对任意 ．
(1) ， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；(2)证明过程见试题解析．


试题分析：(1)利用在 处的导数为0，可求k,进而再利用导函数求出 的单调区间；(2)由（1）易证不等式在 时成立，只需证 时，又 ，易证 最大值为 ,则对任意 ．
(1) ，
由已知， ，∴ ．
由 ,
设 ，则 ，即 在 上是减函数，
由 知，当 时 ，从而 ，
当 时 ，从而 ．
综上可知， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．
(2)由(1)可知，当 时， ≤0＜1+ ，故只需证明 在 时成立，
当 时， ＞1，且 ，∴ ，
设 ， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时，