（2004•上海）已知二次函数y=f1（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f2（x）的图象与直线y=

解题思路：（1）由题意已知二次函数y=f₁（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），设出函数的解析式，然后根据待定系数法求出函数的解析式；
（2）由已知f（x）=f（a），得x²+[8/x]=a²+[8/a]，在同一坐标系内作出f₂（x）=[8/x]和f₃（x）=-x²+a²+[8/a]的大致图象，然后利用数形结合进行讨论求证．

（1）由已知，设f₁（x）=ax²，过点（1，1），
即f₁（1）=1，得a=1，
∴f₁（x）=x²．
设f₂（x）=[k/x]（k＞0），它的图象与直线y=x的交点分别为
A（
k，
k）B（-
k，-
k）
由|AB|=8，得k=8，．∴f₂（x）=[8/x]．故f（x）=x²+[8/x]．

（2）证法一：f（x）=f（a），得x²+[8/x]=a²+[8/a]，
即[8/x]=-x²+a²+[8/a]．
在同一坐标系内作出f₂（x）=[8/x]和f₃（x）=-x²+a²+[8/a]的大致图象，
其中f₂（x）的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，
f₃（x）与的图象是以（0，a²+[8/a]）为顶点，开口向下的抛物线．
因此，f₂（x）与f₃（x）的图象在第三象限有一个交点，
即f（x）=f（a）有一个负数解．
又∵f₂（2）=4，f₃（2）=-4+a²+[8/a]
当a＞3时，．f₃（2）-f₂（2）=a²+[8/a]-8＞0，
∴当a＞3时，在第一象限f₃（x）的图象上存在一点（2，f（2））在f₂（x）图象的上方．
∴f₂（x）与f₃（x）的图

点评：
本题考点： 根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 此题考查了方程根的存在性及其个数的判断，还考查了待定系数法求函数的解析式，综合性比较强，难度比较大．