已知函数f（x）=2a•4x-2x-1

解题思路：（1）由题意可得f（x）=2•4^x-2^x-1，令t=2^x，则f（t）=2t²-t-1，由x∈[-3，0]可知

1

8

≤t≤1，结合二次函数的性质可求
（2）由题意可得方程2at²-t-1=0在（0，+∞）上有解，结合二次函数的性质可考虑分类讨论：①当a=0时②当a＜0时，③当a＞0三种情况讨论可求

（1）当a=1时，f（x）=2•4^x-2^x-1，
令t=2^x，则f（t）=2t²-t-1，
∵x∈[-3，0]
∴[1/8≤t≤1，f（t）=2(t−
1
4)2−
9
8]
当t=[1/4]时，函数有最小值−
9
8，当t=1时，函数有最大值0
故值域为[−
9
8，0]
（2）关于x的方程f（x）=0有解，等价于
方程2at²-t-1=0在（0，+∞）上有解
记f（t）=2at²-t-1（t＞0）
①当a=0时，解为t=-1，不成立
②当a＜0时，开口向下，对称轴t=[1/4a]＜0，过点（0，-1），可得根都为负数，不成立
③当a＞0时，开口向上，对称轴t＝
1
4a＞0，过（0，-1），必有一个根为正
综上得，a＞0

点评：
本题考点： 二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．

考点点评： 本题主要考查了利用换元求解二次函数在闭区间上的最值，及二次方程的实根分布的应用，属于综合试题