（2014•东营二模）设函数f（x）=axn+1+bxn+c（x＞0），其中a+b=0，n为正整数，a，b，c均为常数，

（1）∵a+b=0，∴f（1）=a+b+c=c．
由点（1，c）在直线x+y=1上，可得1+c=1，即c=0．----（1分）
∵f'（x）=a（n+1）xⁿ+bnx^n-1，∴f'（1）=（a+b）n+a=a．（2分）
又∵切线x+y=1的斜率为-1，∴a=-1，
∵a+b=0，∴b=1，
∴a=-1，b=1，c=0．（3分）
（2）由（1）知，f（x）=-xⁿ⁺¹+xⁿ，故f′(x)＝(n+1)xn−1(
n
n+1−x)．（4分）
令f′（x）=0，解得x=[n/n+1]，即f′（x）在（0，+∞）上有唯一零点x=[n/n+1]．（5分）
当0＜x＜
n
n+1时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，[n/n+1]）上单调递增； （6分）
当x＞
n
n+1时，f′（x）＜0，故f（x）在（[n/n+1]，+∞）单调递减．（7分）
∴f（x）在（0，+∞）上的最大值f（x）_max=f（[n/n+1]）=(
n
n+1)n(1−
n
n+1)＝
nn
(n+1)n+1．-----------------（8分）
（3）证明：要证对任意的x∈（0，+∞）都有nf(x)＜
1
e，只需证f(x)＜
1
ne，
由（2）知在（0，+∞）上f（x）有最大值，f(x)max＝
nn
(n+1)n+1，故只需证
nn
(n+1)n+1＜
1
ne-----（9分）
即(
n
n+1)^n+1，即ln
n
n+1+
1
n+1＜0，①（10分）
令[n/n+1＝t，(0＜t＜1)，则
1
n+1＝1−t，①即lnt-t+1＜0，②（11分）
令g（t）=lnt-t+1，（0＜t＜1），则g′(t)＝
1
t−1＝
1−t
t]，（12分）
显然当0＜t＜1时，g'（t）＞0，所以g（t）在（0，1）上单调递增，
∴g（t）＜g（1）=0，即对任意的0＜t＜1②恒成立，
∴对任意的x∈（0，+∞）都有

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查不等式的证明，综合性强，有难度．