(2011•张家界模拟)如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD,M、N分别是AB、PC的中点,

(2011•张家界模拟)如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD,M、N分别是AB、PC的中点,
(1)求平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的大小;
(2)求证:平面MND⊥平面PCD.
gg的心肝宝贝 1年前 已收到1个回答 举报

anny83512 幼苗

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解题思路:(1)由已知中PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD,我们易得到CD⊥AD,且CD⊥PD,故∠PDA即为平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的平面角,解三角形PAD,即可求出∠PDA即为平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的平面角的大小.
(2)取PD的中点E,连接AE,EN,由三角形中位线定理结合已知中M、N分别是AB、PC的中点,我们易证明AE∥MN,结合(1)的结论和等腰三角形性质,根据线面垂直及面面垂直的判定定理,我们可以得到平面MND⊥平面PCD.

(1)∵PA⊥平面ABCD,CD⊂PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥CD,
又∵四边形ABCD是矩形,
∴AD⊥CD
又∵AD∩PA=A
∴CD⊥平面PAD,
又∵PD⊂平面PAD,
∴CD⊥PD
故∠PDA即为平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的平面角,
又∵在直角三角形PAD中,PA=AD
∴∠PDA=45°
即平面PCD与平面ABCD所成锐二面角为45°
(2)证明:取PD的中点E,连接AE,EN,如下图所示

则EN∥CD∥AM,且EN=[1/2]CD=AM
∴四边形AMNE为平行四边形,故AE∥MN…①
由(I)中CD⊥平面PAD,得AE⊥CD
又∵三角形PAD为等腰直角三角形,
∴AE⊥PD
∵PD∩CD=D
∴AE⊥平面PCD
由①得:MN⊥平面PCD
又∵MN⊂平面MND
∴平面MND⊥平面PCD.

点评:
本题考点: 平面与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题.

考点点评: 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题,求二面角关键问题是要找到二面角的平面角,而证明面面垂直关系是要熟练掌握面面垂直的判定定理及证明步骤.

1年前

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