若z是复数则方程z^2-|z|=0的根的个数

yami66的方法略繁,提供一个简单的.
z² = |z|,两边取模得|z|² = |z²| = ||z|| = |z|.
于是|z| = 0或1.
若|z| = 0,则z = 0.
若|z| = 1,代回得z² = |z| = 1,则z = ±1.
易验证z = 0,±1都是原方程的解.
实系数代数方程虚根成对,若系数中有虚数就不一定了.
回顾这个结论的证明,若b是实系数多项式f(x)的一根,即f(b) = 0.
取共轭即得b的共轭也是f(x)的根.
这里用到f(x)的系数为实数,因此在共轭下不变.
若系数有虚数,只能证明b的共轭是另一个多项式的根.
回到你原先的问题.
设x²+(1-2i)x+a+i有实根c,代入得c²+(1-2i)c+a+i = 0.
虚部i-2ci = 0,得c = 1/2.
代回得a = -3/4.
即方程有实根当且仅当a = -3/4.
此时另外一根必为虚根,因为由根与系数关系,两根之积a+i是虚数.

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