三角形,ABC中,D是BC中点,任作一直线交AB,AD,AC,分别于P.N.Q求证AB/AP,AD/AN,AC/AQ,成

过点B作BE‖PQ,交AD的延长线于点E；过点C作CF‖PQ,交直线AD于点F.
则有：AB/AP = AE/AN ,AC/AQ = AF/AN ,BE‖CF .
因为,BE‖CF ,DB = DC ,
所以,DE = DF .
因为,AB/AP + AC/AQ = AE/AN + AF/AN = (AD+DE)/AN + (AD-DF)/AN = 2AD/AN ,
所以,AB/AP,AD/AN,AC/AQ,成等差数列.

证明： 若要证明AB/AP,AD/AN,AC/AQ,成等差数列，只需证明 AD/AN - AB/AP = AC/AQ - AD/AN 即可。

设：①= AD/AN - AB/AP；②= AC/AQ - AD/AN

利用△的面积=1/2 *ab*sinC公式，可以证得：

①=(AD*AP - AB*AN)/ AN*AP = (S△ADP - S△ABN)/ S△ANP

=(S△ABD - S△BDP - S△ABD + S△BDN)/ S△APN

=(S△BDN - S△BDP)/ S△APN = BD*h2 / 2 * S△APN

同理可得：②=CD*h1 / 2 * S△ANQ

∴①：②= h2/h1 * S△ANQ/S△APN

如图所示：

S△ANQ/S△APN=NQ:PN

∵△PNE∽△NQF

∴NQ:PN = h1:h2

∴①：② = 1

∴① = ②

∴AB/AP,AD/AN,AC/AQ,成等差数列