在三角形ABC中,角C=90°,P为三角形内一点,且S三角形PAB=S三角形PBC=S三角形PCA.

疑似：：|PA|平方+|PB|平方==(5/9)AB^2
设△ABC的边BC=a,AC=b,
过P作PE⊥AC,PF⊥BC,垂足为E,F
因为S三角形PAB=S三角形PBC=S三角形PCA
所以△APC面积=△ABC面积/3
因为这两个三角形是同底三角形
所以PE=BC/3=a/3
同理PF=b/3
因为四边形CEPF是矩形
所以CF=PE=a/3,CE=PF=b/3
所以AE=AC-CE=b-b/3=(2/3)b
BF=BC-CF=(2/3)a
在直角三角形AEP中,由勾股定理,得,
PA^2=PE^2+AE^2=(4/9)b^2+a^2/9
PB^2=BF^2+PF^2=(4/9)a^2+b^2/9
所以PA^2+PB^2=(5/9)(a^2+b^2)=(5/9)c^2=(5/9)AB^2