半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短弦长是______，最长的弦长______．

解题思路：过点P的最长弦就是直径，最短弦就是垂直于OP的弦，根据垂径定理和勾股定理可求得．

过点P的最长弦就是直径，5×2=10，
最短弦就是垂直于OP的弦，
如图所示，OP⊥AB于P，
∴OA=5，OP=4，
AP=
OA2−OP2=
52−42=3，
∴弦AB=2AP=2×3=6．
故答案为：6，10．

点评：
本题考点： 垂径定理；勾股定理．

考点点评： 本题结合勾股定理考查了垂径定理，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（[a/2]）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．

6
10

过P点做垂直于OP的直线交圆的两点M，N则MN就是最短的弦，延长OP交MN于点A，则AN=AM=sqrt(5^2-4^2)=3,则MN=6；
延长OP交圆于点EF，则EF为最长的弦，也就是圆的直径，EF=10；

最短的弦是垂直于OP的弦，长度为6
最长的弦为直径，长度为10