E,F为三角形ABC底边BC上的任意两点,求证:AE+AF

取BC的中点O,连结并延长AO到D,使OD=OA,连结BD、ED、FD、CD,再延长AE交BD于G,则四边形ABDC是平行四边形．
∴BD=AC,∴AB+AC=AB+BD．
∵OB=OC,BE=CF,∴OE=OF,
∴四边形AEDF也是平行四边形．
∴DE=AF,AE+AF=AE+DE．
在△ABG中,AB+BG＞AG,即AB+BG＞AE+EG,
在△DEG中,EG+DG＞DE,
∴AB+BG+EG+DG
＞AE+EG+DE,
∴AB+BD＞AE+DE．
即AB+AC＞AE+AF．

利用反证法就好了
∵点E，F是底边BC上任意两点
∴线段EF小于线段BC，即EF＜BC
故△AEF包含在△ABC内，即△ABC的周长大于△AEF的周长
假设AB+AC＞AE+AF成立
即有AB+AC+BC＞AE+AF+EF成立
即△ABC的周长大于△AEF的周长（上面已经验证）