阅读下面的材料：如图（1），在以AB为直径的半圆O内有一点P，AP、BP的延长线分别交半圆O于点C、D．求证：AP•AC
| 阅读下面的材料： 如图（1），在以AB为直径的半圆O内有一点P，AP、BP的延长线分别交半圆O于点C、D． 求证：AP•AC+BP•BD=AB 2 ． 证明：连接AD、BC，过P作PM⊥AB，则∠ADB=∠AMP=90°， ∴点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上． 由割线定理得：AP•AC=AM•AB，BP•BD=BM•BA， 所以，AP•AC+BP•BD=AM•AB+BM•AB=AB•（AM+BM）=AB 2 ． 当点P在半圆周上时，也有AP•AC+BP•BD=AP 2 +BP 2 =AB 2 成立，那么： （1）如图（2）当点P在半圆周外时，结论AP•AC+BP•BD=AB 2 是否成立？为什么？ （2）如图（3）当点P在切线BE外侧时，你能得到什么结论？将你得到的结论写出来．  |
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（1）成立．
证明：如图（2），∵∠PCM=∠PDM=90°，
∴点C、D在以PM为直径的圆上，
∴AC•AP=AM•AD，BD•BP=BM•BC，
∴AC•AP+BD•BP=AM•MD+BM•BC；
∵AM•MD+BM•BC=AB 2 ，
∴AP•AC+BP•BD=AB 2 ．
（2）如图（3），过P作PM⊥AB，交AB的延长线于M，连接AD、BC，则C、M在以PB为直径的圆上；
∴AP•AC=AB•AM①，
∵D、M在以PA为直径的圆上，
∴BP•BD=AB•BM②，
由图象可知：AB=AM-BM③
由①②③可得：AP•AC-BP•BD=AB•（AM-BM）=AB 2 ．
证明：如图（2），∵∠PCM=∠PDM=90°，
∴点C、D在以PM为直径的圆上，
∴AC•AP=AM•AD，BD•BP=BM•BC，
∴AC•AP+BD•BP=AM•MD+BM•BC；
∵AM•MD+BM•BC=AB 2 ，
∴AP•AC+BP•BD=AB 2 ．
（2）如图（3），过P作PM⊥AB，交AB的延长线于M，连接AD、BC，则C、M在以PB为直径的圆上；
∴AP•AC=AB•AM①，
∵D、M在以PA为直径的圆上，
∴BP•BD=AB•BM②，
由图象可知：AB=AM-BM③
由①②③可得：AP•AC-BP•BD=AB•（AM-BM）=AB 2 ．
1年前
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