已知二次函数y=ax^2的图象过点（2,1）,直线y=kx+1与该二次函数对应的抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,
已知二次函数y=ax^2的图象过点（2,1）,直线y=kx+1与该二次函数对应的抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,
计△OAB的面积为S.
（1）当k=0时,求S的值；
（2）若S=4,k＞0,求k的值.并借助图象探究满足不等式ax^2＜kx+1的x的取值范围.
计△OAB的面积为S.
（1）当k=0时,求S的值；
（2）若S=4,k＞0,求k的值.并借助图象探究满足不等式ax^2＜kx+1的x的取值范围.
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(1)把(2,1)带入抛物线方程得a=1/4
∴x²=4y
当k=0时,直线是y=1,带入x²=4y解得x=±2,∴A(-2,1),B(2,1),AB=4
O到AB的距离为1,因此S=1/2*1*4=2
(2)直线过(0,1),恰好是抛物线的焦点,因此设A(x1,y1),B(x2,y2),焦点在y轴上的焦点弦|AB|=y1+y2+2
x²=4y,y=kx+1,化简得x²-4kx-4=0,∴x1+x2=4k
y1+y2=kx1+1+kx2+1=k(x1+x2)+2=4k²+2
∴AB=4k²+4
O到AB:kx-y+1=0的距离d=|0+0+1|/√(k²+1)=1/√(k²+1)
S=1/2*d*AB=4,解得k=√3
由图像得x∈(x1,x2)时,抛物线在直线下方,把k=√3带入x²-4kx+4=0得x1=2√3-2√2,x2=2√3+2√2
∴2√3-2√2
∴x²=4y
当k=0时,直线是y=1,带入x²=4y解得x=±2,∴A(-2,1),B(2,1),AB=4
O到AB的距离为1,因此S=1/2*1*4=2
(2)直线过(0,1),恰好是抛物线的焦点,因此设A(x1,y1),B(x2,y2),焦点在y轴上的焦点弦|AB|=y1+y2+2
x²=4y,y=kx+1,化简得x²-4kx-4=0,∴x1+x2=4k
y1+y2=kx1+1+kx2+1=k(x1+x2)+2=4k²+2
∴AB=4k²+4
O到AB:kx-y+1=0的距离d=|0+0+1|/√(k²+1)=1/√(k²+1)
S=1/2*d*AB=4,解得k=√3
由图像得x∈(x1,x2)时,抛物线在直线下方,把k=√3带入x²-4kx+4=0得x1=2√3-2√2,x2=2√3+2√2
∴2√3-2√2
1年前
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1年前2个回答
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