已知各项均为正数的数列{an}满足a0=[1/2]，an=an-1+[1n2a2n−1，其中n=1，2，3，…．

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a₀=[1/2]，a_n=a_n-1+[1n2

n−1

ghjgghj 1年前已收到1个回答举报

saer223 幼苗

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解题思路：（1）根据递推关系a_n=a_n-1+

n−1

，即可求出a₁和a₂的值；
（2）利用放缩法可得an＝an−1+

n−1

＜an−1+

anan−1，然后两边同时除以a_na_n-1即可得到结论；
（3）根据（2）可得a_n＜n，从而an−1＞

n2+n−1

an，即

an−1

−

＞

n2+n−1

＞

n(n+1)

＝

1/n

−

n+1]，[1

−

＝

1/2

−

n+1]，而a1＝

，从而[1

＜

5/6

n+1

＜1+

n+1

＝

n+2

n+1]，∴a n＞

n+1

n+2

，即可证得结论．

（1）∵a0＝
1
2]，
∴a1＝
1
2+(
1
2)2＝
3
4，a2＝
3
4+
1
4×(
3
4)2＝
57
64．
（2）∵a_n-a_n-1=[1
n2
a2n−1＞0，
∴an＝an−1+
1
n2
a2n−1＜an−1+
1
n2anan−1，∴
1
an−1−
1
an＜
1
n2．
（3）
1
a0−
1
an＝(
1
a0−
1
a1)+(
1
a1−
1
a2)+…(
1
an−1−
1
an)＜1+
1
22+
1
32…+
1

点评：
本题考点：数列与不等式的综合．

考点点评：本题主要考查了数列的递推关系，以及数列与不等式的综合运用，同时考查了计算能力，属于难题．

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