一道数列证明不等式的题目,已知数列的通项公式是3^n/((3^n)+2) ,前n项和为Sn,求证：Sn>n^2/(n+1

一道数列证明不等式的题目,
已知数列的通项公式是3^n/((3^n)+2) ,前n项和为Sn,求证：Sn>n^2/(n+1)
小灯泡乖 1年前 已收到2个回答 举报
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shangyou1 花朵

共回答了20个问题采纳率：90% 举报

分析法证明“
设数列{bn}通项公式为：bn=1 -1/n(n+1)= 1-[1/n -1/(n+1)]
则数列{bn}前n 项和为：n-[1-1/(n+1)] = n^2/(n+1)
要证 Sn>n^2/(n+1)
只须证 3^n/((3^n)+2)> 1 -1/n(n+1) 即可
就是要证明 3^n+2>2n²+2n
楼上已证得n>=3时,上式成立.
而n=1和2时,验证Sn>n^2/(n+1)成立的.
所以Sn>n^2/(n+1)得证.

1年前 追问

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小灯泡乖 举报

太感谢你了！但是构造bn你是怎么想到的啊？

举报 shangyou1

就是设法把n^2/(n+1)分散成n项，当然须要试试看。

小灯泡乖 举报

完了，我好像bn求和不了了，提示一下吧

举报 shangyou1

1/(1*2)=1/1-1/2 1/(2*3)=1/2-1/3 ..................... 1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) 两边相加 和=1/1-1/n(n+1) 前面是n个1 就得出bn的和为：n-[1-1/(n+1)] = n^2/(n+1)

小灯泡乖 举报

哦，符号抄错了一个，难怪算不出来。谢谢啦。

buran1 幼苗

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[[1]]
构造函数:
f(x)=[2+(3^x)]-(2x²+2x) (x≥3)
利用导数,证明该函数在x≥3时递增
∴当x≥3时,恒有
2x²+2x＜2+3^x
∴当n≥3时,恒有
2n²+2n＜2+3^n
[[[2]]]
用归纳法证明,
要用到上面的结论.能不能不用归纳法啊，没学...

1年前

2
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