X是赋范空间,X的单位球面,S={x: ||x||=1}为完备度量空间推出X为BANACH空间?

X是赋范空间,X的单位球面,S={x: ||x||=1}为完备度量空间推出X为BANACH空间?
求证.

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只有证X有完备性.设fi为X空间柯西列,{||fi||}必为有界列,可取{||fi||}收敛的子列,设收敛于数a,下面只对该子列讨论.fi/||fi||为S上的点列,有收敛子列.记为gi,收敛于G.则考虑{(fi/||fi||)-G}收敛于0.由{||fi||}有界,{fi-||fi||)G}收敛于0.即{fi}收敛于aG.因原整个序列fi为X空间柯西列,现证得有收敛子列,故自身必收敛于aG.X完备

1年前

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