高数微积分题目：欲制造一个容积为V的圆柱形有盖容器,问如何设计可使材料最省

设此圆柱形地面半径为x,高为y
则此圆柱形表面积是S=2πxy+2πx².(1)
它的体积是V=πx²y.(2)
由方程(1)和(2)做辅助函数F=2πxy+2πx²+λ(πx²y-V)
令Fx'=2πy+4πx+2λπxy=0.(3)
Fy'=2πx+λπx²=0.(4)
Fλ'=πx²y-V=0.(5)
解方程组(3)(4)(5)得x=(V/(2π))^(1/3).,y=(4V/π)^(1/3)
故把此有盖圆柱形容器设计成底面半径是(V/(2π))^(1/3),高是(4V/π)^(1/3)时,使用的材料最省.