已知x2+xy+9y2=1，试求x-3y的取值范围．

解题思路：设x-3y=k，则x=3y+k，把x=3y+k代入x²+xy+9y²=1得：（3y+k）²+（3y+k）y+9y²=1，求出△=81k²-4×21（k²-1）≥0，即可得出答案．

设x-3y=k，
则x=3y+k，
把x=3y+k代入x²+xy+9y²=1得：
（3y+k）²+（3y+k）y+9y²=1，
即21y²+9ky+k²-1=0有实数解，
所以△=81k²-4×21（k²-1）≥0
-3k²+84＞=0
k²≤28，
-2
7≤k≤2
7，
即x-3y的取值范围是-2
7≤k≤2
7．

点评：
本题考点： 根的判别式．

考点点评： 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0，（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时，方程无实数根．

令x－3y＝k，则：x＝k＋3y，又x^2＋xy＋9y^2＝1，∴（k＋3y）^2＋（k＋3y）y＋9y^2＝1，
∴k^2＋6ky＋9y^2＋ky＋3y^2＋9y^2－1＝0，∴21y^2＋7ky＋k^2－1＝0。
要确保y是实数，需要：（7k）^2－4×21（k^2－1）≧0，∴7k^2－12（k^2－1）≧0，
∴5k^2≦12，∴k^2≦12/5，∴－（1/5）√6...