已知函数y=f(x)是二次函数,且f(0)=8,f(x+1)-f(x)=-2x+1,求证f(x)在(-1,2】上的值域

∵y=f(x)是二次函数
∴设f(x)=ax²+bx+c
∴f(0)=c=8
∴f(x)=ax²+bx+8
f(x+1)-f(x)
=a(x+1)²+b(x+1)+8-ax²-bx-8
=ax²+2ax+a+bx+b-ax²-bx
=2ax+a+b
=-2x+1
∴2a=-2,a+b=1
∴a=-1,b=2
∴f(x)=-x²+2x+8
∵y=f(x)的对称轴为x=1
∴f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减
∴当x∈(-1,2]时
f(x)max=f(1)=9
f(x)min趋于f(-1)=5
所以值域为(5,9]