若m,n∈正整数,试求出所有有序整数对（m,n）,使得(n^3+1)/(mn-1)∈整数

答案是：(1,2)(1,3)(2,5)(3,5)(2,2)(2,1)(3,1)(5,2)(5,3) 共九对.
大体是由对称性知m和n一样,然后用同余的知识解.
参见《高中数学竞赛培优教程（专题讲座）》（浙江大学出版社）第20页【例2.5】.
已知（mn-1)|(n^3+1)
因为（mn-1,m)=1,所以（mn-1,m^3)=1
所以由（mn-1)|(n^3+1)可以得出（mn-1)|(n^3+1)*m3
但(n^3+1)*m&3=(m^3*n^3-1)+(m^3+1)
又因为（mn-1)|(m^3*n^3-1),所以（mn-1)|(m^3+1)
若m=n,则（n^3+1)/(mn-1)=(m^3+1)/(n^2-1)=n+1/(n-1),即1/（n-1)是整数,只能是n=2,答案是（2,2）
若mn,不妨设m>n
若n=1,则2/(m-1)是整数,m=2,3,此时答案是（2,1）,（3,1）
若m>n>=2,因n^3+1对n同余1,mn-1对n同余-1,
令n^3+1=q(mn-1),必有q对n同余-1,故可设q=kn-1,于是
kn-1=(n^3+1)/(mn-1)