证明不等式a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≥abc(a+b+c)

证明：要证明不等式a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≥abc(a+b+c)成立 即要证明不等式a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-abc(a+b+c)≥0 即2[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-abc(a+b+c)]≥0 而 2[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-abc(a+b+c)] =(a^2b^2+c^2a^2-2a^2bc)+(a^2b^2+b^2c^2-2ab^2c)+(b^2c^2+c^2a^2-2abc^2) =a^2(b-c)^2+b^2(a-c^2)+c^2(b-c)^2 ≥0恒成立 所以不等式a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≥abc(a+b+c) 得证