这道题考察级数的两个性质：1.任意加上或去掉级数的有限想不改变它的收敛性. 2.若级数∑an收敛,级数∑bn收敛,则级数∑（an+bn）也收敛. 通项拆为两部分Un和U (n+1),已知∑Un收敛,而∑U …
级数和的收敛性证明
在数学分析中，级数的收敛性是一个核心课题。给定条件为级数∑un收敛，我们需要证明由相邻项之和构成的新级数∑(un+un+1)同样收敛。这个命题的证明不仅展示了收敛级数的运算性质，也体现了部分和序列分析这一基本工具的强大之处。证明的核心思路在于：通过构造新级数的部分和序列，并将其与已知收敛级数的部分和联系起来，从而利用已知的极限性质得出结论。
证明过程与逻辑推导
设原级数∑un的部分和为Sn = u1 + u2 + ... + un。根据已知条件，数列{Sn}收敛，设其极限为S。现在考虑待证级数∑(un+un+1)的部分和，记为Tn。我们可以将其具体展开：Tn = (u1+u2) + (u2+u3) + ... + (un+un+1)。观察其结构，可以发现除了首项u1和末项un+1外，中间的每一项uk都出现了两次。因此，Tn可以重新组合为：Tn = u1 + 2(u2+u3+...+un) + un+1。进一步地，我们可以用已知的部分和Sn来表示它，即Tn = Sn + Sn+1 - u1。
由于∑un收敛，我们知道lim Sn = S 且 lim Sn+1 = S。根据数列极限的运算法则，对表达式Tn = Sn + Sn+1 - u1取极限，立即得到lim Tn = S + S - u1 = 2S - u1。这是一个确定的有限值。根据定义，部分和序列{Tn}收敛意味着级数∑(un+un+1)收敛，并且其和即为2S - u1。至此，我们完成了证明。这个推导过程清晰表明，收敛级数经过这种特定的相邻项合并操作后，其收敛性得以保持。
