泰勒公式求极限时,展开到不同阶数求出的极限不一样?(x³-x²+x/2)e

泰勒公式求极限时,展开到不同阶数求出的极限不一样?(x³-x²+x/2)e
泰勒公式求极限时,展开到不同阶数求出的极限不一样?
(x³-x²+x/2)e^(1/x)-根号下(x^6+1)
在x趋于正无穷的极限
将e^(1/x)分别展开到第2,3,4项,结果分别是负无穷,0,六分之一.答案是六分之一.
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肥皂泡的思念 幼苗

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必须要展开到第4项
因为第四项之后的项的次数小于-3（这种说法好像不大准确,姑且让我这么讲）
比如说-4次,-5次,-6次,
由于前面的式子最高次是3次,所以剩下的项和它相乘属于高阶无穷小量可以忽略
假如只展开到2,3项,那么就会把一部分的非小量忽略造成答案错误

1年前 追问

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有道理，如果展开到第二项，就是等价无穷小，也就是说这题不能用等价无穷小，为什么不能用呢

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以前用等价无穷小怎么都不考虑后面的项不能忽略，直接就用前面两项替换了

举报 肥皂泡的思念

不是哦。都可以用等价无穷小
只展开到前2项=1+1/x+1/2x^2+……
你就忽略了后面的1/2x^2+……吧？
它们虽然看上去是无穷小，
但当前面乘了一个x^3时
你再看看，你忽略的那部分1/2x^2+1/6x^3乘上x^3不是无穷小了！

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我知道后面不能忽略，问题就在这：既然有时泰勒展开式后面的项不能忽略，那以前学等价无穷小时，怎么就直接一概用1+x替换ex？

举报 肥皂泡的思念

不矛盾
用1+x替换e^x的情况当x趋向于0
e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+……
后面的相对于前面的x是高阶无穷小，可以忽略
【既然有时泰勒展开式后面的项不能忽略】
这里的【有时】可以认为是后面的项不为高阶无穷小时

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可在刚看到这题时，还以为这题e^1/x可以变成1+1/x，以前学等价无穷小时根本不知道这个不能换，这是我当时没理解好吗

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假如我没学泰勒，你怎么给我讲为什么这题e^1/x不能变成1+1/x

举报 肥皂泡的思念

嗯，学等价无穷小的时候你可能忽略了这样一句话
只有在乘法的项中才能换
加减法中不能随意换。

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谢谢你了，再麻烦你一下，加减法能否换的标准是什么？我很明白tanx-sinx不能换成x-x，但是这题我只是换ab-c里面的b，也不行。也就是说加减号连接的整个式子的每一项每一部分都不能随意换（常数除外）？

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先采纳你 谢谢⊙▽⊙

举报 肥皂泡的思念

这个很难说
其实换的本质就是泰勒公式的近似处理
所以换的过程中会出现升降次
加减时如果本身相差比较多，那稍微升降一点点无所谓
本身就很精确的话就会出现问题
可能相似的问题

你能帮帮他们吗

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