过C做AB的垂线,交于D点,因A=30度,则三角形BCD是等腰直角三角形. a=√2,b=2, 则CD=BD=1, ∠B=45度或135度 当∠B=45时,直角三角形ACD中∠A=30度,则AC=2CD=2, AD的平方=AC的平 …
在三角形ABC中解三角形的过程分析
已知在三角形ABC中，角A=30°，边a=√2，边b=2。这是一个典型的“已知两边及其中一边的对角”（SSA）的三角形求解问题。我们首先应用正弦定理来求解角B。根据正弦定理：a/sinA = b/sinB，代入已知数据可得：√2 / sin30° = 2 / sinB。由于sin30°=1/2，等式简化为√2 / (1/2) = 2√2 = 2 / sinB。解得sinB = 2 / (2√2) = 1/√2 = √2/2。
由于sinB=√2/2，角B可能有两个解：B₁=45° 或 B₂=135°。接下来我们需要根据三角形的几何性质进行判断。已知角A=30°，若角B=135°，则角A与角B之和为165°，剩余角C=15°，满足三角形内角和为180°。因此，从纯数学计算上看，存在两组潜在解。我们需要进一步利用边长关系验证解的合理性。对于SSA情形，需要检查是否满足“大边对大角”原则。此处边b=2大于边a=√2≈1.414，因此角B应大于角A（30°），两个角度45°和135°均满足此条件，故两组解在数学上均成立。
两组解的完整三角形参数
现在我们可以分别计算两组解中剩余的角C和边c。对于第一组解：B₁=45°，则C₁=180°-30°-45°=105°。应用正弦定理求边c₁：a/sinA = c₁/sinC₁，即√2 / (1/2) = c₁ / sin105°。sin105°=sin(60°+45°)= (√6+√2)/4。计算得c₁ = 2√2 * [(√6+√2)/4] = (√12+√4)/2 = (2√3+2)/2 = √3+1。对于第二组解：B₂=135°，则C₂=180°-30°-135°=15°。边c₂满足：√2 / (1/2) = c₂ / sin15°。sin15°=(√6-√2)/4。计算得c₂ = 2√2 * [(√6-√2)/4] = (√12-√4)/2 = (2√3-2)/2 = √3-1。至此，我们得到了三角形的两组完整解：第一组为A=30°, B=45°, C=105°, a=√2, b=2, c=√3+1；第二组为A=30°, B=135°, C=15°, a=√2, b=2, c=√3-1。
