在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3

①∵2013÷5=402…3，∴2013∈[3]，故①正确；
②∵-2=5×（-1）+3，∴-2∈[3]，故②错误；
③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确；
④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a-b被5除的余数为0，
反之也成立，故当且仅当“a-b∈[0]”整数a，b属于同一“类”．故④正确．
正确的结论为①③④．
故选：C．

点评：
本题考点： 元素与集合关系的判断；命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题主要考查新定义的应用，利用定义正确理解“类”的定义是解决本题的关键．