已知函数 为自然对数的底数）．（1）求曲线 在 处的切线方程；（2）若 是 的一个极值点，且点 ， 满足条件： .（ⅰ）

已知函数 为自然对数的底数）．
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 是 的一个极值点，且点 ， 满足条件： .
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）求证：点 ， ， 是三个不同的点，且构成直角三角形．
（1） ；（2）（ⅰ） ；（ⅱ）参考解析


试题分析：（1）由函数 ，求函数 的导数，并计算 即所求切线方程的斜率，又过点 .即可求出结论.
（2）（ⅰ）由（1）得到的函数 的导数，即可求出函数的单调区间，从而得到函数的极值点，即得到 的值.
（ⅱ）需求证：点 ， ， 是三个不同的点，通过分类每两个点重合，利用已知条件即方程的根的个数来判定即可得到三点是不同点的点.通过向量的数量积可得到三点可构成直角三角形.
（1） ， 2分
，又 ， 4分
所以曲线 在 处的切线方程为 ，
即 ．5分
（2）（ⅰ）对于 ，定义域为 ．
当 时， ， ，∴ ；
当 时， ；
当 时， ， ，∴ ， 8分
所以 存在唯一的极值点 ，∴ ，则点 为