黑素子 幼苗
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(1)证明:∵f(x)的定义域为R,令x=y=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0),
∴f(0)=0.
令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),
即f(0)=f(x)+f(-x)=0.
∴f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数.
(2)证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2,
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).
又∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0,∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x1)>f(x2).
故f(x)是R上的减函数.
(3)∵f(-1)=2,∴f(-2)=f(-1)+f(-1)=4.
又f(x)为奇函数,∴f(2)=-f(-2)=-4,
∴f(4)=f(2)+f(2)=-8.
由(2)知f(x)是R上的减函数,
所以当x=-2时,f(x)取得最大值,最大值为f(-2)=4;
当x=4时,f(x)取得最小值,最小值为f(4)=-8.
所以函数f(x)在区间[-2,4]上的值域为[-8,4].
点评:
本题考点: 抽象函数及其应用;函数奇偶性的性质.
考点点评: 本题主要考查了抽象函数及其应用,以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性,并根据函数的单调性解函数值不等式,体现了转化的思想,在转化过程中一定注意函数的定义域.
1年前
1年前1个回答
已知函数y=f(x)的定义域是数集A,若对于任意a,b∈A,当a
1年前1个回答