数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…+10=？

数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…+10=？
经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=xn（n+1），其中n为正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？ 观察下面三个特殊的等式：
1×2=n（1×2×3﹣0×1×2）
2×3=x（2×3×4﹣1×2×3）
3×4=n（3×4×5﹣2×3×4）
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=m×3×4×5=20．读完这段材料，请你计算：
（1）1×2+2×3+…+100×101= _________ ；（直接写出结果）
（2）1×2+2×3+…+n（n+1）；（写出计算过程）
（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）= _________ ．
egeg1 1年前 已收到1个回答 举报
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rx78ms 幼苗

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（1）∵1×2+×2×3+3×4=m×3×4×5= ×4×5=20，
∴1×2+2×3+…+100×101= ×100×101×102=343400；
（2）∵1×2=n（1×2×3﹣0×1×2）= （1×2×3﹣0×1×2），
2×3=x（2×3×4﹣1×2×3）= （2×3×4﹣1×2×3），
3×4=n（3×4×5﹣2×3×4）= （3×4×5﹣2×3×4），
…
n（n+1）= [n（n+1）（n+2）﹣（n﹣1）n（n+1）]，
∴1×2+2×3+…+n（n+1）= [1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4+…+n（n+1）（n+2）﹣（n﹣1）n（n+1）]，
= n（n+1）（n+2）；
（3）根据（2）的计算方法，
1×2×3=n（1×2×3×4﹣0×1×2×3）= （1×2×3×4﹣0×1×2×3），
2×3×4=x（2×3×4×5﹣1×2×3×4）= （2×3×4×5﹣1×2×3×4），
…
n（n+1）（n+2）= [n（n+1）（n+2）（n+3）﹣（n﹣1）n（n+1）（n+2）]，
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）= （1×2×3×4﹣0×1×2×3+2×3×4×5﹣1×2×3×4+…+n（n+1）（n+2）（n+3）﹣（n﹣1）n（n+1）（n+2）]，
= n（n+1）（n+2）（n+3）．
故答案为：（1）343400；（2） n（n+1）（n+2）；（3） n（n+1）（n+2）（n+3）．

1年前

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