已知函数f（x）满足f（logax）=aa2−1(x−x−1)，其中a＞0且a≠1

解题思路：（1）设log_ax=t，利用换元法求出f(x)＝

a

a2−1

(ax−a−x)，利用函数的单调性的定义，证明，g（x）在（-∞，+∞）上单调递增，从而f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，然后判断函数的奇偶性，f（x）是奇函数，转化f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1）为1-m＜m²-1即m²+m-2＞0求解即可．
（2）利用（1）转化f（2）-4≤0为

a

a2−1

(a2−a−2)≤4．求解即可．

（本题12分）解；（1）设log_ax=t，则x=a^t，所以f(logax)＝f(t)＝
a
a2−1(at−a−t)
故f(x)＝
a
a2−1(ax−a−x)当a＞1时，a²-1＞0，设g（x）=a^x-a^-x，
设x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
因为g(x1)−g(x2)＝(ax1−a−x1)−(ax2−a−x2)＝(ax1−ax2)+(
1
ax2−
1
ax1)=(ax1−ax2)(1+
1
ax1+x2)
因为，x₁＜x₂且a＞1，故ax1＜ax2，所以g(
x 1)＜g(x2)
所以，g（x）在（-∞，+∞）上单调递增，从而f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
当0＜a＜1时，a²-1＜0，同理可证f（x）在（-∞，+∞）上单调递增
又f(−x)＝
a
a2−1(a−x−ax)＝−f(x)，所以f（x）是奇函数
由f（1-m）+f（1-m²）＜0得f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1）
因为f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，所以1-m＜m²-1即m²+m-2＞0解得m＜-2或m＞1
（2）由上，f（2）-4≤0即
a
a2−1(a2−a−2)≤4．解得2−
3≤a≤2+
3

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数单调性的性质．

考点点评： 本题考查函数的恒成立，函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．