已知a＞0且a≠1，f(logax)＝aa2−1(x−1x)．

解题思路：（1）利用换元法：令t=log_ax⇒x=a^t，代入可得f（t）=

1

a2−1

(at−

1

at

)，（t∈R），从而可得函数f（x）的解析式
（2）由（1）得f（x）定义域为R，可求函数的定义域，先证奇偶性：代入f（-x）=

1

a2−1

(

1

ax

−ax)＝−f(x)，从而可得函数为奇函数
（3）再证单调性：利用定义任取x₁＜x₂，利用作差比较f（x₁）-f（x₂）的正负，从而确当f（x₁）与f（x₂）的大小，进而判断函数的单调性

（1）令log_ax=t，则x=a^t，得f（t）=
1
a2−1(at−
1
at)，4分）
所以f（x）=
1
a2−1（a^x-a^-x）（6分）
（2）因为f（x）定义域为R，
又f（-x）=
1
a2−1（a^-x-a^x）=-
1
a2−1（a^x-a^-x）=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数（9分）
（3）任取x₁＜x₂
则f（x₂）-f（x₁）=
1
a2−1（ax2−ax1）（1+a−(x1+x2)）（11分）
∵x₁＜x₂，且a＞0且a≠1，1+a−(x1+x2)＞0
①当a＞1时，a²-1＞0，ax2−ax1＞0，则有f（x₂）-f（x₁）＞0，
②当0＜a＜1时，a²-1＜0．，ax2−ax1＜0，则有f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以f（x）为增函数（13分）

点评：
本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题重点考查了函数性质的三点：①利用换元法求函数的解析式，这是求函数解析式中最为重要的方法，要注意掌握，解答此类问题的注意点：换元后要确定新元的范围，从而可得所要求的函数的定义域②函数奇偶性的判断，解题的关键是利用奇偶性的定义③利用定义判断函数单调性的步骤（i）任设x1＜x2（也可x1＞x2）（ii）作差f（x1）-f（x2）（iii）定号，给出结论．