函数f(x)是定义在R上的函数,且对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+3成立且f(-1)=0

令x=y=0,f(0)=f(0)+f(0)+3, f(0)=-3
令x=1,y=-1,f(0)=f(1)+f(-1)-2+3, f(1)=-3-1=-4
令x=y=1,f(2)=f(1)+f(1)+2+3, f(2)=-4-4+2+3=-3
y=f(x+1)是偶函数就是y=f(x+1)关于y轴对称,他是由y=f(x)向左平移1得到的
所以y=f(x)关于x=1对称,所以f(1+x)=f(1-x)
代入原式得f(1)+f(x)+2x+3=f(1)+f(-x)-2x+3
f(x)=f(-x)-4x
原式中令y=-x,f(0)=f(x)+f(-x)-2x²+3, 得 f(-x)=-f(x)+2x²-3
与上式合并得f(x)=-f(x)+2x²-6-4x
所以f(x)=x²-2x-3

(1) 令原式中 x=0得
f(y) = f(0) + f(y) +3，所以有 f(0) = -3
所以再令 x = 1 ，y = -1 有
f(0) = f(1) + f(-1) -2 + 3 ，所以 f(1) = f(0) - f(-1) -1 = -3-1 = -4
令 x = y = 1得
f(2) = ...

① f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+3
所以 f(1+1)=f(1)+f(1)+2+3 且 f(-1+2)=f(-1)+f(y-2)+2*（-1）*2+3 联立得 f(2)=-3 f(1)=-4
② f(2) = f(x+1+(-x+1)) = f(x+1) + f(-x+1) +2(x+1)(-x+1) +3 = 2f(x+1) -2x^2 + 5

（1）
f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+3
令x=-1,y=0
f(-1+0)=f(-1)+f(0)+2*(-1)*0+3
f(-1)=f(-1)+f(0)+3
f(0)=-3
令x=-1,y=1
f(-1+1)=f(-1)+f(1)+2(-1)*1+3
f(0)=f(-1)+f(1)+1
-3=0+f(1)+1

1。 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy+3
f(-1)=f(0)+f(-1)+3
f(0)=-3
f(1—1）=f(1)+f(-1)-2+3=-3
f(1)=-4
f(2)=f（1）+f（1）+5=-3
2.f(x+1)=f(x)-4+2x+3=f(x)+2x-1
y=f(x+1)是偶函数 f(x)=-2x

令x=-1,y=0
f(-1+0)=f(-1)+f(0)+2乘(-1)乘0+3
0=o+f(0)+3
f(0)=-3
令x=1,y=-1
f(0)=f(1+-1)=f(1)+f(-1)+2乘1乘(-1)
-3=f(1)+0-2+3
f(1)=-4
令x=1,y=1
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2+3=-3