已知函数f（x）=-x3+x2+x+a，g（x）=2a-x3（x∈R，a∈R）．

解题思路：（1）利用导数来求出函数的单调区间．
（2）利用导数来求出函数的极值，利用（1）的结论．
（3）不等式g（x）≥f（x）恒成立转化为不等式a≥x²+x恒成立，h（x）=x²+x，x∈[0，1]，利用导数，求出h（x）的最大值，问题得以解决．

（1）f（x）=-x³+x²+x+a，
f'（x）=-3x²+2x+1，
令f′(x)＝−3x2+2x+1＝0，得x1＝−
1
3，x2＝1．
令f′(x)＞0，得−
1
3＜x＜1．
令f′(x)＜0，得x＜−
1
3，或x＞1．


∴函数f(x)的单调递增区间为(−
1
3，1)，
单调递减区间为(−∞，−
1
3)与(1，+∞).
（2）由（1）可知，
当x＝−
1
3时，函数f（x）取得极小值，函数的极小值为f(−
1
3)＝a−
5
27
当x=1时，函数f（x）取得极大值，函数的极大值为f（1）=a+1，
（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，
即对于任意x∈[0，1]，不等式a≥x²+x恒成立，
设h（x）=x²+x，x∈[0，1]，
则h'（x）=2x+1，
∵x∈[0，1]，
∴h'（x）=2x+1＞0恒成立，
∴h（x）=x²+x在区间[0，1]上单调递增，
∴[h（x）]_max=h（1）=2
∴a≥2，
∴a的取值范围是[2，+∞）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值、函数恒成立问题等等知识点，属于中档题．