已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12．从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成

解题思路：画出图形，先求出矩形的较长的边与较短的边的范围，然后分①AE与较短的边的夹角的正切值等于[1/2]时，设BE=m，表示出AB，再根据矩形的周长列式表示出m，然后根据梯形的面积公式列式整理即可得解，再根据BE与BC的长度范围求出x的取值范围；②AE与较长的边的夹角的正切值等于[1/2]时，设AB=CD=n，表示出BE，然后根据矩形的周长表示出m，再根据矩形的面积公式列式整理即可得解，再根据BE、BC的长度范围求出x的取值范围．

∵矩形ABCD的长大于宽的2倍，矩形的周长为12，
∴AD＞4，AB＜2，
根据题意，可分为以下两种情况：
第一种情况，如图1，
当tan∠BAE=[1/2]时，设CE=x，BE=m，
则AB=DC=2m，AD=m+x，
∵AB+AD=6，
∴2（2m+m+x）=12，
m=[6-x/3]，
S_梯形AECD=[1/2]（AD+EC）•DC，
=[1/2][（m+x）+x]•2m，
=m（m+2x），
=[6-x/3]•[6+5x/3]，
=-[5/9]x²+[8/3]x+4，
[6-x/3]＞0，[6-x/3]+x＞4，
∴x＜6，x＞3，
∴x的取值范围是3＜x＜6；
第二种情况，如图2，
tan∠AEB=[1/2]时，
设CE=x，AB=CD=n，
则BE=2n，AD=2n+x，
∵矩形的周长为12，
∴AB+AD=6，
∴2（n+2n+x）=12，n=[6-x/3]，
S_梯形AECD=[1/2]（AD+EC）•DC，
=[1/2][（2n+x）+x]•n，
=n（n+x），
=[6-x/3]•[6+2x/3]，
=-[2/9]x²+[2/3]x+4，
∵[6-x/3]＞0，2×[6-x/3]+x＞4，
∴x＜6，x＞0，
∴x的取值范围是0＜x＜6．

点评：
本题考点： 矩形的性质；解直角三角形．

考点点评： 本题考查了矩形的性质，解直角三角形，梯形的面积公式，难点在于要分情况讨论．

2*（宽+3宽）=12
宽=1.5
长=4.5
射线与短边夹角正切为1/2：
x=0.75
S=[(4.5-x)+4.5]*1.5/2=6.1875
射线与长边夹角正切为1/2：
x=2.25大于1.5，射线与长边相交
x=4.5*（2.25-1.5）/2.25=1.5
S=[1.5+4.5]*1.5/2=4.5