已知P为抛物线y=x 2 上的动点，定点A（a，0）关于P点的对称点是Q，

（1）设Q（x，y）、P（x ₀ ，y ₀ ）


∵A、Q关于P点对称 ，
∴

x 0 =
x+a
2
y 0 =
y
2 ，
∴
y
2 =(
x+a
2 ) 2 ，即y=
1
2 (x+a ) 2
（2）由

y= x 2
y=
1
2 (x+a ) 2 消去y得x ² -2ax-a ² =0
又因为两曲线相交于B、C两点，
∴△=4a ² -4（-a ² ）=8a ² ＞0，∴a≠0
设B（x ₁ ，y ₁ ）、C（x ₂ ，y ₂ ）


则 x 1 + x 2 =2a， x 1 x 2 =- a 2
∵ AB⊥AC∴ k AB • k AC =-1，即
y 1
x 1 -a •
y 2
x 21 -a =-1
∴ y 1 y 2 + x 1 x 2 -a( x 1 + x 2 )+ a 2 =0
∵ y 1 y 2 =
x 21 •
x 22 =(- a 2 ) 2 =0∴ a 4 - a 2 -2 a 2 + a 2 =0
解得a=±
2 或a=0(舍去)
∴当AB⊥AC时，a的值为±
2 ．