在三棱锥P-ABC中,平面PAC垂直平面ABC,且AP垂直 PC, BC垂直 AC．
在三棱锥P-ABC中,平面PAC垂直平面ABC,且AP垂直 PC, BC垂直 AC．
(1) 求证：平面PAB垂直平面PBC若∠PAC
(2) 若∠PAC=45°,∠BAC=30°, 求异面直线PB与AC所成角的余弦值.
(1) 求证：平面PAB垂直平面PBC若∠PAC
(2) 若∠PAC=45°,∠BAC=30°, 求异面直线PB与AC所成角的余弦值.
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（1）作CH⊥PB于H.因为BC⊥AC,平面PAC垂直于平面ABC,而AC为两条直线的相交直线
所以BC⊥平面PAC
所以 BC⊥AP
由已知 AP⊥PC
得 AP⊥平面PBC
所以 AP⊥CH
因为 CH⊥PB
所以 CH⊥平面APB
于是 平面PAB⊥平面PBC
（2）用向量法,以C为原点,CB、CA为x、y轴正方向建立空间坐标系.
不妨设BC=1,于是AC=根号3,PC=PA=根号6/2
得向量PB=(1,-根号3/2,-根号3/2）
向量CA=(0,根号3,0）
所以cosα = -PB·CA / |PB|·|CA|=（3/2）/根号(15/2)
=（根号30）/10
所以BC⊥平面PAC
所以 BC⊥AP
由已知 AP⊥PC
得 AP⊥平面PBC
所以 AP⊥CH
因为 CH⊥PB
所以 CH⊥平面APB
于是 平面PAB⊥平面PBC
（2）用向量法,以C为原点,CB、CA为x、y轴正方向建立空间坐标系.
不妨设BC=1,于是AC=根号3,PC=PA=根号6/2
得向量PB=(1,-根号3/2,-根号3/2）
向量CA=(0,根号3,0）
所以cosα = -PB·CA / |PB|·|CA|=（3/2）/根号(15/2)
=（根号30）/10
1年前
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