czg111 花朵
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(1)∵Fn(x)=f (x-a)+f(b-x)=(x-a)n+(b-x)n
Fn(x)=n(x-a)n-1+n(b-x)n-1•(-1)=n[(x-a)n-1-(b-x)n-1]
令Fn(x)=0得(x-a)n-1=(b-x)n-1
∵0<a<x<b∴f (x)=xn(n≥2,n∈N+)为单调增函数
∴x=[a+b/2]
x (a,[a+b/2]) [a+b/2] ([a+b/2],b)
Fn(x) - 0 +
Fn(x) 单调减 极小值 单调增∴Fn(x)min=Fn([a+b/2])=([b−a/2])n+([b−a/2])n=
(b−a)n
2n−1
又Fn(x)在x=a,x=b处连续且Fn(a)=Fn(b)=(b-a)n
故
(b−a)n
2n−1≤Fn(x)<(b-a)n
即Fn(x)的取值范围为[
(b−a)n
2n−1,(b-a)n)…(7分)
(2)证明:∵Fn(x)=f(x-b)-f(x-a)=(x-b)n-(x-a)n
∴Fn(x)=n[(x-b)n-1-(x-a)n-1]
则Fn(n)=n[(n-b)n-1-(n-a)n-1]
∵当x≥a>0时F(x)>0
∴当x≥a>0时Fn(x)是关于x的增函数
∴当n≥a时,(n+1-b)n-(n+1-a)n>(n-b)n-(n-a)n>0
∴Fn(n+1)=(n+1)[(n+1-b)n-(n+1-a)n]>(n+1)[(n-b)n-(n-a)n]
>(n+1)[(n-b) (n-b)n-1-(n-b) (n-a)n-1]
=(n+1)(n-b)[(n-b)n-1-(n-a)n-1]
=[n+1/n](n-b)•F(n)
而Fn(n)>0
于是
Fn+1(n+1)
Fn(n)>[n+1/n]•(n-b)
而F(2)=2[(2-b)2-1-(2-a)2-1]=2(a-b)
当n≥3时
F(n)=
Fn(n)
Fn+1(n+1)•
Fn−1(n−1)
Fn−2(n−2)…
F3(3)
F2(2)
点评:
本题考点: 函数单调性的判断与证明;函数恒成立问题.
考点点评: 本题是中档题,考查函数的单调性,解析式的化简,函数的值域的求法,作商法累积法是证明本题的关键,考查发现问题解决问题的能力,注意转化思想的应用.
1年前
你能帮帮他们吗
精彩回答
1年前
1年前
1年前
下列中( )能作为植物体内促进水分和无机盐向上运输的主要动力.A.光合作用 B.呼吸作用 C.输导作用 D.蒸腾作用
1年前
1年前