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平易近人我 幼苗
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(Ⅰ)证明:∵f(x)=cosx+
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2-1,(x≥0),
则f′(x)=x-sinx,
设h(x)=x-sinx,则h′(x)=1-cosx,
当x≥0时,h′(x)=1-cosx≥0,即f′(x)为增函数,
所以f′(x)≥f′(0)=0,
即f(x)在x≥0时为增函数,
所以f(x)≥f(0)=0;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知x≥0时,sinx≤x,cosx≥-
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2+1,
∴
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2+x+1≥sinx-cosx+2,
设G(x)=ex-
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2-x-1,则G′(x)=ex-x-1,
设g(x)=ex-x-1,则g′(x)=ex-1,
当x≥0时,g′(x)=ex-1≥0,
∴g(x)=ex-x-1为增函数,
∴g(x)≥g(0)=0,
∴G(x)为增函数,
∴G(x)≥G(0)=0,
∴ex≥sinx-cosx+2对任意的x≥0恒成立.
又x≥0,a≥1时,eax≥ex,
∴a≥1时,eax≥sinx-cosx+2对任意的x≥0恒成立.
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 本题考察了函数的单调性,导数的应用,不等式的证明,是一道综合题.
1年前
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2012年希望之星英语风采大赛 大连才艺表演是6月22日几点?
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