（2011•普陀区三模）如图，已知半径为r的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交点为P．

（1）因为对角线互相垂直的四边形ABCD面积S＝
|AC|•|BD|
2，
而由于|AC|=d为定长，
则当|BD|最大时，四边形ABCD面积S取得最大值．由圆的性质，垂直于AC的弦中，直径最长，
故当且仅当BD过圆心M时，四边形ABCD面积S取得最大值，最大值为dr．
（2）由题意，不难发现，当点P运动到与圆心M重合时，对角线AC和BD的长同时取得最大值|AC|=|BD|=2r，
所以此时四边形ABCD面积S取得最大值，最大值为2r²．
（3）类比猜想1：若对角线互相垂直的椭圆内接四边形ABCD中的一条对角线长确定时，当且仅当另一条对角线通过椭圆中心时，该椭圆内接四边形面积最大．
类比猜想2：当点P在椭圆中心时，对角线互相垂直的椭圆内接四边形ABCD的面积最大．
以上两个均为正确的猜想，要证明以上两个猜想，都需先证：椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大．
证：设椭圆的方程为
x2
a2+
y2
b2＝1（a＞b＞0），平行弦MN的方程为y=kx+m，
联立可得b²x²+a²（kx+m）²-a²b²=0⇒（b²+a²k²）x²+2kma²x+m²a²-a²b²=0
不妨设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
则|MN|＝
1+k2|x1−x2|
=
1+k2•
(
−2kma2
b2+a2k2)2−4
m2a2−a2b2
b2+a2k2
=

1+k2
b2+a2k2•
4k2m2a4−4(m2a2−a2b2)(b2+a2k2)
=

1+k2
b2+a2k2•
4a2b2(a2k2+b2−m2)
由于平行弦的斜率k保持不变，故可知当且仅当m=0时，即当直线经过原点时，
|MN|取得最大值|MN|＝2ab

1+k2

b2+a2k2（*）．特别地，当斜率不存在时，此结论也成立．
由以上结论可知，类比猜想一正确．又对于椭圆内任意一点P构造的对角线互相垂直的椭圆内接四边形，我们都可以将对角线平移到交点与椭圆中心O重合的椭圆内接四边形A₁B₁C₁D₁，而其中|AC|≤|A₁C₁|，|BD|≤|B₁D₁|，
所以必有SABCD≤SA1B1C1D1．即证明了猜想二也是正确的．
类比猜想3：当点P•在椭圆中心，且椭圆内接四边形的两条互相垂直的对角线恰为椭圆长轴和短轴时，四边形面积取得最大值2ab．
要证明此猜想，也需先证“椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大．”在此基础上，可参考以下两种续证方法．
证法一：当点P在椭圆中心时，不妨设对角线AC所在直线的斜率为k．
（i）当k=0时，AC即为椭圆长轴，又AC⊥BD，故BD是椭圆的短轴．
所以此时椭圆内接四边形ABCD的面积为S_ABCD=2ab．
（ii）当k≠0时，对角线BD的斜率为−
1
k．由此前证明过程中的（*）可知，|AC|＝2ab

1+k2

b2+a2k2，
若将−
1
k代换式中的k，则可得弦BD的长度，|BD|＝2ab

1+
1
k2