任给7个实数x(k) (k=1,2,…,7).证明其中有两个数x(i),x(j),满足不等式0≤[x(i)-x(j)]/

任给7个实数x(k) (k=1,2,…,7).证明其中有两个数x(i),x(j),满足不等式0≤[x(i)-x(j)]/[1+x(i)*x(j)
任给7个实数x(k) (k=1,2,…,7).证明其中有两个数x(i),x(j),
满足不等式0≤[x(i)-x(j)]/[1+x(i)*x(j)] ≤1/(根号3).
qq103 1年前 已收到4个回答 举报
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he1234 春芽

共回答了20个问题采纳率：100% 举报

最简单的证明方法：
因为正切函数y=tan(x)是值域为R的函数,所以总可以找到(-90度,90度)上的7个角度A1,A2,...A7,使得tan(Ai) = x(i).
那么[x(i) - x(j)]/[1+x(i)*x(j)] = [tan(Ai) - tan(Aj)] / [1 + tan(Ai)tan(Aj)] = tan(Ai-Aj)
不妨设Ai>=Aj,因为如果Ai

1年前

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lzhsogood 幼苗

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证明：由于是任意7个实数，可以设该7个数为tan(Yk),0≤Yk≤π，其中tan(Yk)=x（k），
所以x(i)=tanα，x(j)=tanβ
[x(i)-x(j)]/[1+x(i)*x(j) ]=（tanα-tanβ）/(1+tanα*tanβ)=tan（α-β）
要使0≤[x(i)-x(j)]/[1+x...

1年前

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vsdfe3s 幼苗

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明：令x(k)=tanα(k) (k ＝l，2，…，7)，α(k)∈(-π/2 ，π/2 )，
则原命题转化为：
证明存在两个实数α(i)，α(j)∈(-π/2 ，π/2 )，满足0≤tan(αi-αj)≤1/(根号3)
由抽屉原则知，α(k) 中必有 4个在[0，π/2 )中或在(-π/2 ，0 )中，不妨设有4个在[0，π/2 )中．注意到tan0＝0，tan...

1年前

1

morfengmei 幼苗

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任给7个实数x(k) (k=1，2，…，7)且x1>x2>x3>x4>x5>x6>x7
(xi-xj)/(1+xixj)
xi=tga,xj=tgb
tga-tgb=(sinacosb-sinbcosa)/(cosacosb+sinasinb)
=sin(a-b)/cos(a-b)
=tg(a-b)

1年前

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