（2010•南京二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．

解题思路：（1）连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代换有∠OEB=∠CBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切线；
（2）先利用切割线定理可求出半径OD，容易证出△AED∽△ABE；设DE=

2

x，BE=2x，利用相似比，结合勾股定理可求x，从而求出BC的长．

（1）证明：连接OE；
∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB=90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠AEO=90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵AE是⊙O的切线，
AD=6，AE=6
2，
∴AE²=AD•AB，
∴AB=
AE2
AD=
(6
2)2
6=12，
∴BD=AB-AD=12-6=6；
∵∠AED=∠ABE，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABE，
∴
DE
BE＝
AE
AB

2
2；
设DE=
2x，BE=2x，
∵DE²+BE²=BD²，
∴2x²+4x²=36，
解得x=±
6（负的舍去），
∴BE=2
6，DE=2

点评：
本题考点： 圆的切线的判定定理的证明；与圆有关的比例线段．

考点点评： 本题利用了平行线的性质、切线的判定、切割线定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识．