（2009•宜春一模）已知x=1是f（x）=2x-[b/x]+lnx的一个极值点

解题思路：（1）由题意可得f′（1）=0，解方程即求得b值，注意检验；
（2）在定义域内解不等式f′（x）＞0，可求单调增区间；
（3）设过点（2，5）与曲线g （x）相切的切线的切点坐标为（x₀，y₀），则由切线过点（2，5）可得y₀-5=g′（x₀）（x₀-2），可化为lnx0+

2

x0

-2=0，令h（x）=lnx+[2/x]-2，问题转化为h（x）在（0，+∞）上的零点个数，由零点判定定理可得结论；

（1）因x=1是f（x）=2x-[b/x]+lnx的一个极值点，∴f′（1）=0，
又f′（x）=2+[b
x2+
1/x]，
所以2+b+1=0，解得b=-3，
经检验，适合题意，所以b=-3；
（2）f′（x）=2-[3
x2+
1/x]＞0，
又x＞0，∴x＞1，
∴函数的单调增区间为[1，+∞）；
（3）g（x）=f（x）-[3/x]=2x+lnx，
设过点（2，5）与曲线g （x）相切的切线的切点坐标为（x₀，y₀），
∴y₀-5=g′（x₀）（x₀-2），即2x0+lnx0−5＝(2+
1
x0)(x0−2)，
∴lnx0+
2
x0-2=0，
令h（x）=lnx+[2/x]-2，
由h′(x)＝
1
x−
2
x2=0，得x=2，
∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
又h（[1/2]）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h(e2)＝
2
e2＞0，
∴h（x）与x轴有两个交点，
∴过点（2，5）可作2条曲线y=g（x）的切线；

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，解决（3）问的关键构造函数转化为函数零点问题．