已知f（x）是周期为5的连续函数，它在x=0的某个领域内满足关系式f（1+sinx）-3f（1-sinx）=8x+α（x

由题目条件可知

lim
x→0[f(1+sinx)−3f(1−sinx)]＝
lim
x→0[8x+α(x)]
得f（1）-3f（1）=0，故f（1）=0．
又
lim
x→0
f(1+sinx)−3f(1−sinx)
sinx＝
lim
x→0[
8x
sinx+
α(x)
x
x
sinx]=8
设sinx=t，则有

lim
x→0
f(1+sinx)−3f(1−sinx)
sinx
=
lim
t→0
f(1+t)−f(1)
t+3
lim
t→0
f(1−t)−f(1)
−t＝4f′(1)
所以f'（1）=2
由于f（x+5）=f（x），所以f（6）=f（1）=0，f'（6）=f'（1）=2
所以切线方程为y=2（x-6），即2x-y-12=0
故切线方程为：2x-y-12=0

点评：
本题考点： 平面曲线的切线方程和法线方程的求法．

考点点评： 本题考查的是周期函数切线方程的求法，要记住周期为T的函数，导数也是周期函数且周期也为T