微积分求解运动曲线!求助啊加急一个半径为r的圆盘在以w的速度匀速转动,一个垂直于圆盘的喷头在匀速的喷射液体,喷头沿着圆盘

喷头相对圆盘的运动轨迹是一条曲线,若使喷涂均匀,那么喷头沿该曲线运动的速度大小恒定,也就是说喷头相对圆盘的运动速度大小恒定,即:ds/dt=c①,①式中s为喷头相对圆盘“划过的弧长”,t为时间,c为正常数,即c＞0.在极坐标系下,(ds)^2=(ρdθ)^2+(dρ)^2②,②式中ρ为极轴,θ为方向角,②式两端同时除以(dt)^2得:(ds/dt)^2=(ρ^2)(dθ/dt)^2+(dρ/dt)^2,所以根据①式有:ρ^2(dθ/dt)^2+(dρ/dt)^2=c^2,显然dθ/dt为圆盘旋转的角速度ω,依题意ω为常数,dρ/dt为喷头沿圆盘半径方向的运动速度,所以有:ω^2ρ^2+(dρ/dt)^2=c^2③,③式即为喷头沿圆盘半径方向的运动方程.显然,当ρ取最大值r时,dρ/dt=0,代入③式得c=ωr,所以③式变为:(dρ/dt)^2=ω^2(r^2-ρ^2)④,由④式可知,在同一ρ处,喷头背离圆心和趋近圆心的速度大小相等,符号相反,所以只需求出喷头背离圆心的曲线,利用对称性即可知道喷头趋近圆形的曲线.当喷头背离圆心时,dρ/dt≥0,由④式得dρ/dt=ω√(r^2-ρ^2)⑤,不妨设t=0时,ρ=0,则⑤式的解为ρ=rsinωt,0≦t≦π/(2ω),根据对称性,ρ的一般解为ρ=r|sinωt|⑥,t≥0；⑥式即为喷头沿半径往复运动的规律,它是正弦函数的绝对值,可见它是将正弦函数的下半部分图像折起翻到上半平面而得.由⑥式可知,喷头在圆心处的速度有突变,这样的运动规律在实际中只能近似得到.

a/R 速度就是这个。a为任取的常熟，R是喷头距圆心的距离。
额，需要具体步骤吗？

假定单位时间喷头出液体量为r, dt时间间隔内喷头出液体量为rdt, 相应这些液体会被喷在圆盘上wr(vdt)的面积区域内，其中r是该时刻喷头到圆心的距离，v是该时刻喷头的径向运动速度。为保证“液体均匀的分布在圆盘上”，要求rdt/wr(vdt)=const, 所以rv ->const, v->1/r, 可以假设v=c/r, 其中c是待定常数。当然以上讨论还有两个问题：第一，当喷头运动到圆盘边缘...