已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1，若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．

x∈[2，∞），f（x）≥0，即x³+3ax²+3x+1≥0，即x+[3/x]+[1
x2≥-3a．
令g（x）=x+
3/x]+[1
x2，则g'（x）=1-
3
x2-
2
x3=
x3−3x−2
x3，
下面我们证g'（x）≥0在x∈[2，∞）恒成立，也即x³-3x-2≥0在x∈[2，∞）上恒成立．
令h（x）=x³-3x-2，则h'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），易知h'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，
∴h（x）在x∈[2，∞）上为增函数，∴h（x）≥h（2）=0，也就是x³-3x-2≥0在x∈[2，∞）上恒成立，
∴g'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，g（x）在x∈[2，∞）为增函数，
∴g（x）的最小值为g（2）=
15/4]，
-3a≤g（2）=[15/4]，
解得a≥-[5/4]．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 该题考查利用导数研究函数的最值，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．

1年前

ycckkkk 花朵

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x∈[2,∞)，f(x)≥0，即x³+3ax²+3x+1>=0，即x+3/x+1/x²>=-3a
即x∈[2,∞)时，-3a<=x+3/x+1/x²恒成立，求x+3/x+1/x²在[2,∞)的最小值即可。
令g(x)=x+3/x+1/x²
g'(x)=1-3/x²-2/x³=(x³-3...

1年前

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