3]. (2)连结B1M,由已知条件得四边形ABB1A1为矩形,B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M,由此能求出直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值.
(1)取BC中点N,连结MN,C1N,…(1分) ∵M,N分别为AB,CB中点 ∴MN∥AC∥A1C1, ∴A1,M,N,C1四点共面,…(3分) 且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N, 又DE∩平面BCC1B1, 且DE∥平面A1MC1,∴DE∥C1N, ∵D为CC1的中点,∴E是CN的中点,…(5分) ∴[CE/EB= 1 3].…(6分) (2)连结B1M,…(7分) 因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,∴AA1⊥平面ABC, ∴AA1⊥AB,即四边形ABB1A1为矩形,且AB=2AA1, ∵M是AB的中点,∴B1M⊥A1M, 又A1C1⊥平面ABB1A1, ∴A1C1⊥B1M,从而B1M⊥平面A1MC1,…(9分) ∴MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影, ∴B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M, 又B1C1∥BC, ∴直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角…(10分) 设AB=2AA1=2,且三角形A1MC1是等腰三角形 ∴A1M=A1C1= 2,则MC1=2,B1C1= 6, ∴cos∠B1C1M= MC1 B1C1=
6 3, ∴直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值为
6 3.…(12分)
点评: 本题考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的性质. 考点点评: 本题考查两条线段的比值的求法,考查角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
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