（2014•顺义区二模）已知椭圆E的两个焦点分别为（-1，0）和（1，0），离心率e=22．
（2014•顺义区二模）已知椭圆E的两个焦点分别为（-1，0）和（1，0），离心率e=
．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m≠0）与椭圆E交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T，当m变化时，求△TAB面积的最大值．
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（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m≠0）与椭圆E交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T，当m变化时，求△TAB面积的最大值．
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解题思路：（Ⅰ）根据椭圆的焦点坐标，离心率，求出a，c，可求b，即可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线y=x+m代入椭圆方程，求出|AB|，|MT|，可得△TAB的面积，配方，即可求出三角形面积的最大值．
（Ⅱ）直线y=x+m代入椭圆方程，求出|AB|，|MT|，可得△TAB的面积，配方，即可求出三角形面积的最大值．
（Ⅰ）由已知椭圆的焦点在x轴上，c=1，[c/a]=
2
2，
∴a=
2，b=1，---（2分）
∴椭圆E的方程为
x2
2+y2＝1---（4分）
（Ⅱ）y=x+m代入椭圆方程，消去y得3x2+4mx+2m2-2=0
∵直线l与椭圆有两个交点，
∴△＞0，可得m2＜3（*）---（6分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1+x2=-[4m/3]，x1x2=
2m2−2
3，
∴弦长|AB|=
2|x1-x2|=
2
2
3•
6−2m2，---（8分）
AB中点M（-[2m/3]，[m/3]），设T（x，0），∴kAB•kMT=-1，
∴
m
3
−
2m
3−x•1＝−1
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 待定系数法是解决椭圆标准方程的关键，直线与圆锥曲线联立，是解决弦长问题的常用方法．
1年前
8
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