在等差数列{an}中，公差d＞0，a2009，a2010是方程x2-3x-5=0的两个根，Sn是数列{an}的前n项的和

依题意知，a₂₀₀₉+a₂₀₁₀=3＞0，a₂₀₀₉•a₂₀₁₀=-5＜0，公差d＞0，
∴a₂₀₀₉＜0，a₂₀₁₀＞0，
∴S₄₀₁₇=
4017(a1+a4017)
2=
4017(a2009+a2009)
24017a₂₀₀₉＜0，
S₄₀₁₈=
4018(a1+a4018)
2=
4018(a2009+a2010)
2＞0，
∴满足条件S_n＞0的最小自然数n=4018．
故选：A．

点评：
本题考点： 等差数列的性质．

考点点评： 本题考查等差数列的前n项和公式与等差数列的性质，考查韦达定理的应用，属于中档题．