已知函数f（x）=lnx+2x，g（x）=a（x2+x），若f（x）≤g（x）恒成立，则实数a的取值范围是______．

解题思路：f（x）≤g（x）恒成立，构造新函数F（x）=f（x）-g（x），则F（x）≤0恒成立，求导函数，是的F（x）的最大值小于0，就可以求出实数a的取值范围

设F（x）=f（x）-g（x），则F′(x)＝−
(2x+1)(ax−1)
x
当a≤0时，F′（x）≥0，F（x）单调递增，F（x）≤0不可能恒成立；
当a＞0时，令F′（x）=0，得x＝
1
a，x＝−
1
2（舍去）．
当0＜x＜
1
a时，F′（x）＞0，函数单调递增；当x＞
1
a时，F′（x）＜0，函数单调递减；
故F（x）在（0，+∞）上的最大值是F(
1
a)，依题意F(
1
a)≤0恒成立，
即ln
1
a+
1
a−1≤0恒成立，
∵gg(a)＝ln
1
a+
1
a−1单调递减，且g（1）=0，
∴ln
1
a+
1
a−1≤0成立的充要条件是a≥1，
∴a的取值范围是[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．

考点点评： 此题主要考查函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想．