设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m×n矩阵,现有4个命题

正确选项应该是①和③.
设r(A)=r1, r(B)=r2,
则Ax=0的基础解系有n-r1个解向量,Bx=0的基础解系中有n-r2个解向量,因为Ax=0的解均是Bx=0的解,所以Ax=0的基础解系中的n-r1个解向量可由Bx=0的基础解系中的n-r2个解向量线性表示,于是n-r1<=n-r2,于是r1≥r2.即秩（A）≥秩（B）.所以① 是正确的.

若Ax=0与Bx=0同解,则Ax=0的基础解系中的n-r1个解向量与Bx=0的基础解系中的n-r2个解向量等价,于是n-r1=n-r2, 于是r1=r2. 即秩（A）=秩（B）.

② ④ 都是不正确的,都可举出反例的.例如：

1.正确 设A是m*n矩阵,R(A)=max(m,n)-R(x),R(x)表示解空间的秩
R(xA)<=R(xB) -> R(A)>=R(B)
2.错误 R(A)>=R(B)只能推导出A的解空间的维数小于等于B解空间的维数
但无法说明A的解空间包含在B的解空间内，后面2题以此类推
3.正确
4.错误

(3) 正确
齐次线性方程组同解, 则基础解系所含向量个数相同
即有 n-r(A) = n-r(B)
故 r(A)=r(B)

(1) 也对
与上同理, n-r(A) <= n-r(B)
所以 r(A) >= r(B)

• 首先明确：（a）向量组1可由向量组2线性表出（或等价），（b）秩1＜=秩2（或= ） (a)能推出(b) ，（b）不能推出（a）

• 基础解系中解的个数为n-r又其中各向量组线性无关则基础解系的秩也为n-r，r为系数矩阵的秩

• 在（1）的条件下可推出A的基础解系可由B的基础解系表出，

  在（3）的条件下可推出A的基础解系与B的基础解系等价。

• 则（1）（3）正确。